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$
\newcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
\newcommand{\pFq}[5]{{}_{#1}\mathrm{F}_{#2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4} \bigg| {#5} \right)}
$

We consider, for various values of $s$, the $n$-dimensional integral
\begin{align}
\label{def:Wns}
W_n (s)
&:=
\int_{[0, 1]^n}
\left| \sum_{k = 1}^n \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} \, x_k} \right|^s \mathrm{d}\boldsymbol{x}
\end{align}
which occurs in the theory of uniform random walk integrals in the plane,
where at each step a unit-step is taken in a random direction. As such,
the integral \eqref{def:Wns} expresses the $s$-th moment of the distance
to the origin after $n$ steps.

By experimentation and some sketchy arguments we quickly conjectured and
strongly believed that, for $k$ a nonnegative integer
\begin{align}
\label{eq:W3k}
W_3(k) &= \Re \, \pFq32{\frac12, -\frac k2, -\frac k2}{1, 1}{4}.
\end{align}
Appropriately defined, \eqref{eq:W3k} also holds for negative odd integers.
The reason for \eqref{eq:W3k} was long a mystery, but it will be explained
at the end of the paper.

<div style="font-size: 200%;">
\[

g\frac{d^2u}{dx^2} + L\sin u = 0

\]
</div>

== Testbereich Collapsible Tables ==
===Grad I===

:{| class="mytable mybordertable mw-collapsible mw-collapsed" cellspacing="0"
|-
!align = "left" colspan = "2"| <h4>Testrune1</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
|-
| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

:{| class="mytable mybordertable mw-collapsible mw-collapsed" cellspacing="0"
|-
!align = "left" colspan = "2"| <h4>Testrune1a</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
|-
| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

:{| class="mytable mybordertable mw-collapsible mw-collapsed" cellspacing="0"
|-
!align = "left" colspan = "2"| <h4>Testrune1b</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
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| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

<h3>Grad II</h3>
:{| class="mytable mw-collapsible mw-collapsed" cellpadding="3" cellspacing="0"
|-
!align = "left" valign="bottom" colspan = "2" |<h4>Testrune2</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
|-
| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

:{| class="mytable mw-collapsible mw-collapsed" cellpadding="3" cellspacing="0"
|-
!align = "left" valign="bottom" colspan = "2" |<h4>Testrune2a</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
|-
| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

:{| class="mytable mw-collapsible mw-collapsed" cellpadding="3" cellspacing="0"
|-
!align = "left" valign="bottom" colspan = "2" |<h4>Testrune2b</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
|-
| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

<h3>Grad III</h3>
:{| class="mytable mw-collapsible mw-collapsed" cellspacing="0" cellpadding="3"
|-
!align = "left" valign="bottom" colspan = "2" |<h4>Testrune3</h4>
|-
| colspan = "2" | '''Voraussetzung''': [[Objekt weihen (Klassenfähigkeit)|Objekt weihen]]
|-
| colspan = "2" | '''Besonderheiten bei der Herstellung:''' Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
|-
| width = "250" | '''[[Macht einer Magie|Macht]]:''' 5 <br> '''[[Zeitaufwand]]:''' 1 Minute <br>'''[[Wirkungsbereich von Effekten|Wirkungsbereich]]:''' ein Wesen <br> '''[[Wirkungsdauer von Effekten|Wirkungsdauer]]:''' 1 Monat <br>'''[[Resistenzwürfe gegen Effekte|Resistenzwurf]]:''' keiner
| Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen [[Resistenzwurf]], wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
|-
| colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]      '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
|}

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 | colspan = 2 | '''[[Arkane Referenz]]''': [[Æthermagie#Konstruktiv|Æthermagie (Konstruktiv)]]; [[Bannmagie#Prävention|Bannmagie (Prävention)]]; [[Ilyenas]]  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '''[[Klerikale Referenz]]''': [[Schutzzyklus]]
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 <math>
    g\frac{d^2u}{dx^2} + L\sin u = 0
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 \[
    g\frac{d^2u}{dx^2} + L\sin u = 0
 \]
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 == Testbereich MathJax Erweiterung ==
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    \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,}
    \newcommand{\pFq}[5]{{}_{#1}\mathrm{F}_{#2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4} \bigg| {#5} \right)}
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 We consider, for various values of $s$, the $n$-dimensional integral