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[math] \newcommand{\Re}{\mathrm{Re}\,} \newcommand{\pFq}[5]{{}_{#1}\mathrm{F}_{#2} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4} \bigg| {#5} \right)} [/math]

We consider, for various values of $s$, the $n$-dimensional integral \begin{align}

 \label{def:Wns}
 W_n (s)
 &:= 
 \int_{[0, 1]^n} 
   \left| \sum_{k = 1}^n \mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} \, x_k} \right|^s \mathrm{d}\boldsymbol{x}

\end{align} which occurs in the theory of uniform random walk integrals in the plane, where at each step a unit-step is taken in a random direction. As such, the integral \eqref{def:Wns} expresses the $s$-th moment of the distance to the origin after $n$ steps.

By experimentation and some sketchy arguments we quickly conjectured and strongly believed that, for $k$ a nonnegative integer \begin{align}

 \label{eq:W3k}
 W_3(k) &= \Re \, \pFq32{\frac12, -\frac k2, -\frac k2}{1, 1}{4}.

\end{align} Appropriately defined, \eqref{eq:W3k} also holds for negative odd integers. The reason for \eqref{eq:W3k} was long a mystery, but it will be explained at the end of the paper.

\[

 g\frac{d^2u}{dx^2} + L\sin u = 0

\]

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Grad I

Testrune1
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus

Testrune1a
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus

Testrune1b
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus

Grad II

Testrune2
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus

Testrune2a
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus

Testrune2b
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus

Grad III

Testrune3
Voraussetzung: Objekt weihen
Besonderheiten bei der Herstellung: Die Tusche, Tinte oder Farbe muss mit Weihwasser oder Salböl angerührt bzw. vermischt werden.
Macht: 5 Zeitaufwand: 1 Minute Wirkungsbereich: ein Wesen Wirkungsdauer: 1 Monat Resistenzwurf: keiner	Diese Rune wird dem Empfänger beim (gemeinsamen) Sprechen eines Gebets in einem Stoffbeutelchen um den Hals gehängt oder in die Tasche seines Gewands gesteckt. Diese Rune soll Glück bringen und tatsächlich erhält man einmalig einen Bonus von +1 auf einen Resistenzwurf, wenn dies zwischen Erfolg und Misserfolg entscheiden würde. Dann verliert die Rune augenblicklich ihre Kraft. Man kann nicht mehr als eine solche Rune bei sich tragen, sonst wirkt keine von beiden. Spätestens einem Monat nach der Aktivierung verfliegt jedoch der Segen.
Arkane Referenz: Æthermagie (Konstruktiv); Bannmagie (Prävention); Ilyenas      Klerikale Referenz: Schutzzyklus